0,9 = 1

Unter Mathematikern ist das kein besonders spannendes Thema. Aber faszinierend ist es anzusehen, dass andere Menschen auf diese Behauptung teilweise bestürzt und empört reagieren. Auch in Internetforen habe ich schon manch heftige Diskussion amüsiert mitverfolgt, so dass ich nicht anders kann, als dieses Thema hier ebenfalls auszuführen.

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Behauptung

Die Zahl 0,9 ist gleich 1. Sie ist nicht fast 1 oder annähernd 1, sondern sie ist exakt 1.

Beweis

Am einfachsten ist natürlich die folgende Erklärung

0,9 = 3 · 0,3

= 3 · (1/3) = 1

Dieser Erklärung treten viele jedoch mit Skepsis entgegen, da 1/3 (also ein echtes Drittel der Zahl 1) wohl doch ein bisschen mehr zu sein scheint als 0,3 (was aber ebenfalls exakt dasselbe ist). Versuchen wir es daher mit einem anderen Beweis:

x	= 0,9
10 · x	= 9,9
10 · x	= 9 + 0.9
10 · x	= 9 + x
9 · x	= 9
x	= 1

Diese Argumentationsfolge ist schon wesentlich schwieriger abzustreiten.

Zum Schluss noch eine klare Erklärung, die ohne mathematische Gleichungen auskommt. Jeder, der sich ein wenig mit Zahlen befasst hat, weiß, dass die reellen (und auch die rationalen) Zahlen unendlich dicht auf der Zahlengeraden liegen. Das heißt, zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen a < b liegt immer eine dritte Zahl c (sogar unendlich viele) mit a < c < b. Nun dürfte es aber wirklich schwer fallen, zwischen 0,9 und 1 eine solche Zahl zu finden. Also sind beide Zahlen gleich.